Dao động cơ tắt dần

Một vật thực hiện quá trình dao động điều hoà là một quá trình lý tưởng, thực tế bất cứ một vật dao động cơ học nào khi xảy ra trong môi trường cũng chịu tác dụng của lực cản mà kết quả làm cho vật dao động với biên độ giảm dần. Dao động như vậy gọi là dao động tắt dần.
Xét một hệ dao động chịu tác dụng của lực cản của môi trường. Lực cản của môi trường ngược chiều với chuyển động và tỉ lệ với vận tốc

                                                          F = r .v

Trong đó r là hệ số tỉ lệ gọi là hệ số cản của môi trường.

Phương trình dao động  tắt dần :

Ta hãy thiết lập phương trình dao động tắt dần của con lắc lò xo. Trong trường hợp này, hợp lực tác dụng lên quả cầu :

               F = Fc = - kx  - rv

Phương trình cơ bản của chuyển động trong trường hợp này là

               ma =  - kx  - rv

hay   

               m\(d^2x\over dt^2\) = -r\(dx\over dt\) - kx

                ⇔ \(d^2x\over dt^2\) + \(r \over m\)\(dx\over dt\) +  \(k \over m\)\(x\) = 0      (1)

Đặt 

               \(\beta\) = \(r\over 2m\) Gọi là hệ số tắt dần
Phương trình (1) trở thành

              \(d^2x\over dt^2\)\(x\) + 2\(\beta\)\(dx\over dt\) + \(\omega^2_0 x\) = 0           (2)

(2) gọi là phương trình vi phân của dao động tắt dần. Theo toán học giải tích, khi  \(\omega_0 \) >  \(\beta\) ,nghiệm phương trình này có dạng :

            x = \(A_0 e^{-\beta t}\) cos ( \(\omega t + \varphi\))

Đây là biểu thức độ dời của dao động tắt dần. Hằng số ω gọi là tần số của dao động tắt dần :

                      ω = \( { \sqrt{\omega^2_0 + \beta^2} }\)

Chu kỳ T của dao động tắt dần là :

                   T = \(2\pi\over \omega\) = \({2 \pi\over { \sqrt{\omega^2_0 + \beta^2} }}\)

Khảo sát dao động tắt dần :

  Đặt :                  A =  \(A_0 e^{-\beta t}\)

Gọi là biên độ dao động tắt dần. Biên độ này giảm theo quy luật hàm số mũ.
Để đặc trưng cho mức độ tắt dần của dao động, người ta đưa ra một đại lượng gọi là giảm lượng lôga :
Giảm lượng lôga có trị số bằng lôga tụe nhiên của tỷ số giữa hai giá trị liên tiếp của hai biên độ dao động cách nhau một khoảng thời gian bằng một chu kỳ T
Ta có biểu thức :

             \(\sigma= {ln {A(t) \over A(t + T)}}\) = ln\(A_0 e^{-\beta t}\over A_0 e^{-\beta (t + T)}\) = ln \(e^{-\beta t}\)

hay

              \(\sigma = \beta T\)

Biên độ dao động giảm dần là do năng lượng của hệ trong quá trình dao động giảm dần co phải thắng công các lực cản.